二重积分的几何意义，二重积分的几何意义是曲顶柱体的体积

摘要： 重积分的几何意义是什么重积分的几何意义是：曲顶柱体的有向体积二重积分的几何意义，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）；三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质...

重积分的几何意义是什么

重积分的几何意义是：曲顶柱体的有向体积二重积分的几何意义，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）；三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。多重积分是定积分的一类二重积分的几何意义，它将定积分扩展到多元函数（多变量的函数）。多重积分具有很多与单变量函数的积分一样的性质（线性二重积分的几何意义，可加性，单调性等等）。

定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。

几何意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。

三重积分的几何意义是不均匀的空间物体的质量。当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。如果空间闭区域G被有限个曲面分为有限个子闭区域，则在G上的三重积分等于各部分闭区域上三重积分的和。

三重积分的几何意义是不均匀的空间物体的质量。

进阶到二重积分，我们触及了更为立体的概念——曲边梯形乘以高度，象征着空间体积的诞生。它就像一片片砖石堆积，形成了一座由函数定义的立体结构（这里的积分为函数在二维区域内的体积叠加，呈现出空间的三维形态。）。

二重积分用几何意义求值

1、该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为 1 的二重积分的值等于积分区域的面积，即 其中，D 为积分区域S 的面积。第一张图中，二重积分的计算：第二张图中，二重积分的计算与上面形式相同。

2、二重积分的几何意义，就是以上述半圆为底面的1/ 4球体的体积；故I=（1/4）（4/3）πr=（1/3）π。积分的线性性质 性质（积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差）。性质（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 （k为常数）。

3、D是xoy平面上的单位圆域，曲顶柱体的顶是曲面 z=√（1-x-y）即，x+y+z=1（z≥0）也就是单位球面的上半部分。

4、二重积分的的几何意义本身就是计算空间几何体的体积。该几何体的底面显然是一个圆的内部（含圆的边界），该圆的表达式为x+y=3，即圆的圆心为（0，0），半径为3；几何体的高度为z=f（x，y）=|x+y-4|。

曲线积分和曲面积分的几何意义是什么,和二重积分三重积分有什么区别。如...

二重积分，可以看做一个高函数f（x，y），在底面∑上的积分，所以他表示的是底面为∑的几何体的体积。三重积分，可以看做一个密度函数f（x，y），在几何体V上的积分，所以他表示的是几何体V的质量。第一类曲线积分，可以看做一个密度函数f，对曲线长度s的积分，所以他表示的是曲线s的质量。

曲面积分的微元是面积微元，相当于每个面积微元有一个权重，然后把这些权重相加。比如，一个曲面的铁板，每一处的面密度都不同，求整个质量，就需要曲面积分。二重积分，就是把普通积分的结果当成了下一个积分的积分函数，只不过写在了一起……没什么神秘。三重积分也一样。

lz首先要知道，积分的意义就是求和。举个物理上的例子，比如要求总电荷，需要知道电荷分布f（r）。如果是分布在一个平面上的，就是二重积分r可以用x，y表示。如果是一个空间分布，就是三重积分。对于曲线积分就是围绕一个路径求和，重新换个例子。比如一条密度不均匀的绳子要求它的总质量。

第一类曲线积分就是已知曲线和它的线密度求曲线质量（所有的前提都是可求，下同）。第二类曲线积分就是求变力在已知曲线上做功。曲面积分也分第一类曲面积分和第二类曲面积分。第一类曲面积分就是已知平面和面密度求平面的质量。第二类曲面积分就是求某个物理量的通量。

二重积分与三重积分的几何意义有什么不同

1、二重积分是表示的体积。三重积分是有物理意义的：表示质量。

2、几何意义不同 二重积分表示曲顶柱体体积。三重积分表示立体的质量。注意事项不同 二重积分的注意事项：平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。三重积分的注意事项：当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，质量就等于其体积值。

3、定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。

如何用二重积分的几何意义求二重积分?

1、如果积分区域关于x轴对称 被积函数是关于y的奇函数 ，等于0；被积函数关于y的偶函数，等于2倍。如果积分区域关于y轴对称 被积函数是关于x的奇函数 ，等于0；被积函数关于x的偶函数，等于2倍。

2、定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。

3、利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的，二重积分的计算是通过两个定积分的计算（即二次积分）来实现的。利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题。讨论中，我们假定 ；假定积分区域可用不等式 表示，其中， 在上连续。

4、计算二重积分的基本思路是简化积分计算思想，即把二重积分尽可能的转化为累次积分。为此，必须注意：选取适合坐标，是否分域，如何定限。

5、该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为 1 的二重积分的值等于积分区域的面积，即 其中，D 为积分区域S 的面积。第一张图中，二重积分的计算：第二张图中，二重积分的计算与上面形式相同。